Las seis Razones Trigonométricas de un ángulo agudo

Publicado por José María

En el inicio de la llamada Trigonometría, tenemos que definir en un triángulo rectángulo, unos cocientes entre sus tres lados. 

Son el seno, el coseno, la tangente, la cotangente, la secante y la cosecante.

Seno de un ángulo, sen a.

Es el cociente entre la medida del cateto opuesto al ángulo y la medida de la hipotenusa.

sen a = BC/AB

Coseno de un ángulo, cos a.

Es el cociente entre la medida del cateto contiguo al ángulo y la medida de la hipotenusa.

cos a = AC/AB

Tangente de un ángulo, tag a.

Es el cociente entre la medida del cateto opuesto al ángulo y la medida del cateto contiguo.

tag a = BC/AC

Cotangente de un ángulo, cotag a.

Es el cociente entre la medida del cateto contiguo al ángulo y la medida del cateto opuesto.

cotag a = AC/BC

Secante de un ángulo, sec a.

Es el cociente entre la medida de la hipotenusa y la medida del cateto contiguo al ángulo.

sec a = AB/AC

Cosecante de un ángulo, cosec a.

Es el cociente entre la medida de la hipotenusa y la medida del cateto opuesto al ángulo.

cosec a = AB/BC

Ejemplo 1    Hallar las razones trigonométricas del ángulo a, de un triángulo rectángulo, sabiendo que el cateto opuesto mide 6cm y el cateto contiguo mide 2 cm.

sen a = 6/ hipotenusa. tenemos que calcular la hipotenusa, aplicando el Teorema de Pitágoras: hipotenusa = raiz (6^2 + 2^2) = raiz (36 + 4) = raiz 40.

Por tanto sen a = 6 / raiz 40

cos a = 2 / raiz 40

tag a = 6/2 = 3

cotag a = 2/6 = 1/3

sec a = raiz 40 / 2

cosec a = raiz 40 / 6

Relaciones entre las razones trigonométricas

Si nos fijamos en las anteriores definiciones, observamos:

tag a = sen a / cos a

cotag a = cos a / sen a

sec a = 1 / cos a

cosec a = 1 / sen a

cotag a = 1/ tag a

Relación fundamental de la trigonometría

En cualquier triángulo rectángulo se verifica  que  (sen a)^2 + (cos a)^2 = 1

Ejemplo 2  Comprobémoslo en el triángulo anterior.

(6 / raiz 40)^2 + (2 / raiz 40)^2 = 36 / 40 + 4 / 40 = 40 / 40 = 1

Relación entre el seno y el coseno

Sabemos que (sen a)^2 + (cos a)^2 = 1.  Si despejamos (sen a)^2 = 1 - (cos a)^2, entonces nos queda  sen a = raiz ((1 -( cos a)^2)

y en la misma forma cos a = raiz ((1 - (sen a)^2)

Ejemplo 3.   Si sen a = 0´4  (0º < a < 90º),  hallar el cos a.

cos a =  raiz (1 - 0´4^2) = raiz 0´84

Ejemplo 4.  Si  cos a = 2/3   (0º < a < 90º), hallar las restantes razones trigonomátricas, dando los resultados simplificados y racionalizados.

sec a = 3/2 = 1´5

sen a = raiz (1 - (2/3)^2) = raiz (1 - 4/9) = raiz ( 5/9) = (raiz 5) / 3

cosec a = 3 / raiz 5 = (3 raiz 5) / 5

tag a = ((raiz 5) / 3 ) / (2/3)) = (raiz 5) / 2

cotag a = 2 / raiz 5 = (2 raiz 5) / 5.

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José María

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